n-元代数：综述与应用

本文以自洽且统一的方式回顾了某些n-元李代数推广的性质和应用。这些推广是代数结构，其中两个条目的李括号已被一个具有n个条目的括号所取代。每种类型的n-元括号都满足一个特定的特征恒等式，该恒等式扮演了李代数Jacobi恒等式的角色。我们将特别关注广义李代数（由对其n个分量的结合积进行反对称化得到的偶数多重括号定义，并满足广义Jacobi恒等式）和Filippov代数（或n-李代数，由完全反对称的n-括号定义，并满足Filippov恒等式）。三李代数最近在多重膜理论中出现在Bagger-Lambert-Gustavsson模型的背景下。因此，我们将详细讨论Filippov代数，包括控制其中心扩张和形变的上同调复形（Whitehead引理扩展到所有半单n-李代数）。当n-李代数的斜对称性被放宽时，就得到了n-Leibniz代数。这些也将被讨论，因为它们构成了n-李代数上同调性质的基础。标准的Poisson结构也可以扩展到n-元情形。我们将回顾偶广义Poisson结构（其广义Jacobi恒等式再现了广义李代数的模式）和Nambu-Poisson结构（满足Filippov恒等式并决定Filippov代数）。最后，将简要讨论Bagger-Lambert和Gustavsson关于超共形Chern-Simons理论的近期工作。重点将放在3-李代数结构的出现、为何A_4模型可以用普通李代数来表述，以及其Nambu括号推广上。