重数等于体积公式与正规局部环中的 Newton 不 degenerate 理想

我们发展了关于正规局部环中 Newton 不 degenerate (NND) 理想及 Newton 多面体的概念。这些概念最初是在复分析语境下定义的。我们指出，已知在分析环境中通过积分闭包表述 NND 理想的特征性质，可推广至正规局部环。我们利用与 graded 家族 $\mathcal{I}$ 相关的极限体 $\mathcal{C}(\mathcal{I})$，提供了对著名“重数等于体积”公式的新理解。特别地，我们证明，对维数为 $d$ 的正规局部环 $(R,\mathfrak{m})$ 中一个 Noetherian graded 家族 $\mathcal{I}$ 的 $\mathfrak{m}$-primary 理想，等式 $$e(\mathcal{I}) = d!\text{co-vol}_d(\mathcal{C}(\mathcal{I}))$$ 成立当且仅当 $\mathcal{I}$ 包含某些 NND 理想的子家族。