弱分级理想族的重数

本文扩展了针对线性下界受限的弱分级理想族的重数概念。具体而言,我们证明了极限 $e_W(\mathfrak{I}):=\lim\limits_{n\to\infty}d!\frac{\ell_R(R/I_n)}{n^d}$ 存在,其中 $\mathfrak I=\{I_n\}$ 是一个线性下界受限的、局部环 $(R,\mathfrak m)$ 中维数 $d\geq 1$ 的弱分级理想族,且 $\dim(N(\hat{R}))<d$。此外,我们证明了"体积等于重数"公式和闵可夫不等式对此类理想族均成立。我们探讨了形如 $\mathfrak J=\{(I_n:K)\}$ 的弱分级理想族的 $e_W(\mathfrak J)$ 的某些性质,其中 $\{I_n\}$ 是一个 $\mathfrak m$-初级分级理想族。我们给出了形如 $\mathfrak J=\{(I_n:K)\}$ 的弱分级理想族在闵可夫不等式中等号成立的必要充分条件,其中 $\{I_n\}$ 是一个受限滤网。最后,我们推广了Rees关于具有相同重数的理想包含关系的 Characterization 结果至上述理想族。最终,我们考察了长度函数 $\ell_R(H_{\mathfrak m}^0(R/(I_n:K)))$ 的渐近行为,其中 $\{I_n\}$ 是一个理想滤网(不一定是 $\mathfrak m$-初级)。