求解光滑半线性抛物型热方程的多层 Picard 迭代

我们引入了一族新的数值算法，用于在单个时空点上逼近一般高维半线性抛物型偏微分方程的解。该算法是通过将 Feynman-Kac 公式与 Bismut-Elworthy-Li 公式，以及具有多层精度的 Picard 不动点迭代的近似分解进行精妙结合而得到的。该算法已在物理学和金融学中出现的各种半线性偏微分方程上进行了测试，结果非常令人满意。还介绍了分析此类算法所需的分析工具，包括半线性 Feynman-Kac 公式、一类新的半范数及其递归不等式。它们使我们能够证明，对于具有不依赖梯度非线性的半线性热方程，在适当假设下，所提算法的计算复杂度以 $O(d\,\varepsilon^{-(4+\delta)})$ 为界，对于任意 $\delta \in (0,\infty)$，其中 $d\in \mathbb{N}$ 为问题的维数，$\varepsilon\in(0,\infty)$ 为规定的精度。