关于高维非线性抛物型偏微分方程和高维非线性反向随机微分方程的多层皮卡数值近似

抛物型偏微分方程（PDE）和反向随机微分方程（BSDE）是物理学和金融工程中许多模型的关键要素。特别是，抛物型 PDE 和 BSDE 是当前金融衍生品定价与对冲的最先进工具。此类应用中出现的 PDE 和 BSDE 往往是高维且非线性的。由于此类 PDE 和 BSDE 通常不存在显式解，因此如何对其进行近似求解是一个非常活跃的研究课题。在近期文献 [E, W., Hutzenthaler, M., Jentzen, A., and Kruse, T. Linear scaling algorithms for solving high-dimensional nonlinear parabolic differential equations. arXiv:1607.03295 (2017)] 中，我们提出了一族基于皮卡近似和多层蒙特卡洛方法的近似方法，并在半线性热方程的精确解满足适当正则性假设下证明了计算复杂度上界为 $O( d \, \epsilon^{-(4+\delta)})$，对任意 $\delta\in(0,\infty)$ 成立，其中 $d$ 为问题维数，$\epsilon\in(0,\infty)$ 为规定精度。本文通过数值模拟展示近似精度与运行时间的关系，测试该算法在物理学和金融学中出现的多种 100 维非线性 PDE 上的适用性。这些 100 维示例 PDE 的模拟结果在精度和速度方面均令人满意。此外，我们还对文献中针对非线性 PDE 和 BSDE 的其他近似方法进行了综述。