广义多层 Picard 逼近

近似求解高维偏微分方程（PDEs）是应用数学中最具挑战性的问题之一。特别地，科学文献中研究的大多数数值逼近格式都受维数灾难之苦，即在 PDE 维数 $d \in \mathbb{N}$ 或 $\varepsilon$ 的倒数中，计算误差不超过 $\varepsilon > 0$ 的逼近所需计算量至少呈指数增长。近来，所谓的全历史递归多层 Picard（MLP）逼近方法被引入以应对高维 PDE 近似求解问题。据我们所知，MLP 逼近方法目前是唯一对具有一般时间范围和一般初值的抛物型半线性 PDE 存在严格证明表明其确实能克服维数灾难的方法。本工作的主要目的是更深入地研究 MLP 逼近方法，更清晰地揭示这些方法如何克服维数灾难，并提出一类广义 MLP 逼近格式，其涵盖先前分析的 MLP 逼近作为特例。特别地，我们开发了一个抽象框架，在其中可表述并分析该类广义 MLP 逼近，随后应用此抽象框架推导适用于半线性热方程的合适 MLP 逼近的计算复杂性结果。这些所得的半线性热方程 MLP 逼近本质上是先前引入的半线性热方程 MLP 逼近的推广。