高维偏微分方程组全历史递归多层 Picard 近似的数值模拟

应用数学中最具挑战性的问题之一是开发并分析能够近似计算高维非线性偏微分方程（PDEs）解的算法。特别地，很难开发出不遭受维度灾难的近似算法，即算法为计算精度 $\epsilon > 0$ 的近似解所需的计算操作次数在所需精度的倒数 $1/\epsilon$ 和 PDE 的维度 $d \in \mathbb{N}$ 两者中均至多多项式增长。近来，一种称为全历史递归多层 Picard（MLP）近似方法的新近似方法被提出，且迄今为止，该近似方案是科学文献中唯一被证明能在具有一般时间范围的半线性 PDE 数值近似中克服维度灾难的近似方法。本文的一个关键贡献是将 MLP 近似方法推广到半线性 PDE 方程组，并在若干示例 PDE 上对其进行数值测试。更具体地，我们将所提 MLP 近似方法应用于高达 1000 维的 Allen-Cahn PDE、Sine-Gordon 型 PDE、耦合半线性热 PDE 方程组以及半线性 Black-Scholes PDE。所呈现的数值模拟结果表明，对于这些示例 PDE 中的每一种，所提 MLP 近似方法均能在较短运行时间内产生非常准确的结果，且特别地，所呈现的数值模拟结果表明所提 MLP 近似方案显著优于某些基于深度学习的针对高维半线性 PDE 的近似方法。