半线性抛物型偏微分方程粘性解的非线性Feynman-Kac公式
概率论
2021-10-25 v2 偏微分方程分析
摘要
经典 Feynman-Kac 恒等式通过为线性 Kolmogorov 偏微分方程（PDEs）的经典解提供随机表示，在随机分析与偏微分方程之间架起了一座桥梁。这为基于采样的蒙特卡洛近似方法的推导打开了大门，此类方法可以是无网格的，从而有望在不遭受维数灾难的情况下近似 PDE 的解。在本文中，我们将经典 Feynman-Kac 公式推广到某些半线性 Kolmogorov PDE。更具体地，我们将经典 Feynman-Kac 恒等式被形式地应用于半线性 Kolmogorov PDE 时出现的随机不动点方程（SFPEs）的合适解，识别为相应 PDE 的粘性解。这特别地证明了：在半线性 Kolmogorov PDE 的数值近似中，采用全历史递归多层 Picard（MLP）近似算法是合理的；该算法近来已被证明能在 SFPE 解的数值近似中克服维数灾难。
引用
@article{arxiv.2004.03389,
title = {On nonlinear Feynman-Kac formulas for viscosity solutions of semilinear parabolic partial differential equations},
author = {Christian Beck and Martin Hutzenthaler and Arnulf Jentzen},
journal= {arXiv preprint arXiv:2004.03389},
year = {2021}
}
备注
54 pages