具有幂律衰减键强的随机网络中的多重分形性

本文通过数值方法证明，其邻接矩阵 ${\bf A}$ 由幂律带状随机矩阵（PBRM）模型的稀释版本表示的随机网络具有多重分形本征函数。PBRM 模型描述具有随机长程键的一维样本。该模型的键强以幂律衰减，由参数 $\mu$ 调节为 $A_{mn}\propto |m-n|^{-\mu}$；而稀疏性由平均网络连通度 $\alpha$ 驱动：当 $\alpha=0$ 时网络中的顶点相互孤立，当 $\alpha=1$ 时网络完全连通并恢复 PBRM 模型。尽管已知 PBRM 模型在临界值 $\mu=\mu_c=1$ 处具有多重分形本征函数，我们清晰地表明[从参与数 $I_2$ 的相对涨落标度以及概率分布函数 $P(\ln I_2)$ 的标度]对于 $\alpha<1$ 存在临界值 $\mu_c\equiv \mu_c(\alpha)$。此外，我们通过相应的多重分形维数 $D_q$ 刻画了随机网络模型本征函数的多重分形性，这些维数由典型本征函数参与数 $\exp\left\langle\ln I_q \right\rangle$ 的有限网络尺寸标度计算得出。