具有部分结构化和部分随机连接的网络特性

我们为大随机 $N\times N$ 矩阵 $A = M + LJR$ 的特征值密度提供了一个通用公式，其中 $M$、$L$ 和 $R$ 是任意确定性矩阵，$J$ 是元素为零均值独立同分布的随机矩阵。对于非正规矩阵 $A$，仅凭特征值不足以确定由 $A$ 诱导的动力学，因此我们还提供了 $N$ 维线性动力系统中活动幅度的瞬态演化和频率功率谱的通用公式，该系统的耦合矩阵由 $A$ 给定。这些量也可被视为表征非线性网络在固定点附近对小扰动的稳定性和线性响应幅度。我们推导了这些公式，并针对受神经生物学模型启发的 $M$、$L$ 和 $R$ 的一些示例进行了解析计算。我们还论证了，正如先前观察到的那样，有限个随机分布的离群特征值在 $N\rightarrow\infty$ 时持续存在于 $A$ 的特征值密度支撑集之外，这种现象出现在复平面 $\Omega$ 的区域中，其中 $L^{-1} (z\mathbf{1} - M) R^{-1}$（对于 $z\in\Omega$）存在非零奇异值，且这些奇异值在 $N\rightarrow\infty$ 时趋于零。当此类奇异值不存在且 $L$ 和 $R$ 等于单位矩阵时，范数为 $\sigma$ 的 $J$ 对应的 $A$ 谱支撑集与 $M$ 的 $\sigma$-伪谱之间，在归一化 Frobenius 范数下（但在算子范数下不）存在对应关系。