Galton-Watson树上带偏随机游走速度的单调性

Ben Arous, Fribergh 和 Sidoravicius \cite{GAV2014} 证明了在没有叶的 Galton-Watson 树上，带偏随机游走 $RW_\lambda$ 的速度在 $\lambda\leq \frac{m_1}{1160}$ 时严格递减，其中 $m_1$ 是 Galton-Watson 树的最小度。A"{\i}d\'{e}kon \cite{EA2013} 将此结果改进到 $\lambda\leq \frac{1}{2}$。本文我们证明：对于没有叶的 Galton-Watson 树上的 $RW_{\lambda}$，当 $m_1\geq 2$ 时，其速度在 $\lambda\in \left[0,\frac{m_1}{1+\sqrt{1-\frac{1}{m_1}}}\right]$ 上严格递减；证明归功于 A"{\i}d\'{e}kon \cite{EA2013}。