单极 Floer 同调与不变 theta 特征

我们描述了三维流形的单极 Floer 同调与黎曼曲面几何之间的关系。考虑紧黎曼曲面 $\Sigma$ 的一个自同构 $\varphi$，其商为 $\mathbb{P}^1$。在 $\Sigma$ 上由 $\varphi$ 不变的 theta 特征 $L$ 与 $\varphi$ 的映射环面 $M_{\varphi}$ 上的自共轭 spin$^c$ 结构 $\mathfrak{s}_L$ 之间存在自然对应。我们证明 $(M_{\varphi},\mathfrak{s}_L)$ 的单极 Floer 同调群由 $\varphi$ 在 $H^0(L)$（即 $L$ 的全纯截面空间）上作用的（提升的）特征值显式决定。对我们的计算进行去范畴化后，我们还得到 $H^0(L)$ 的维数等于 $(M_{\varphi},\mathfrak{s}_L)$ 的 Reidemeister-Turaev 挠率。最后，我们将我们的描述与 Atiyah-Bott $G$-spin 定理相结合，根据分歧数据对所有素数阶自同构 $\varphi$ 的 Floer 同调群给出了显式计算。