海森堡群中旋转环的模

设 $\mathcal{S}$ 为嵌入海森堡群 $\mathcal{H}$ 中的旋转曲面。旋转环 $R_{a,b}(\mathcal{S})$（其中 $0<a<b$）是 $\mathcal{H}$ 中由 $\mathcal{S}$ 的两个膨胀像所界定的区域，其膨胀因子分别为 $a$ 和 $b$。我们证明，如果 $\mathcal{S}$ 满足某些几何条件，则 $R_{a,b}(\mathcal{S})$ 内部连接水平边界的曲线族 $\Gamma$ 的模为 $${\rm Mod}(\Gamma)=\pi^2(\log(b/a))^{-3}.$$ 我们的结果适用于许多有趣的曲面，例如 Kor\'anyi 度量球、Carnot-Carath\'eodory 度量球和气泡集。