Heisenberg 群中 Legendrian 叶状结构与二次微分的模

本文旨在证明关于 Heisenberg 群中曲线族模的如下结果。设 $\Omega$ 是 Heisenberg 群中由一族 Legendrian 曲线 $\Gamma$ 叶状化的域。假设在 $\Omega$ 上存在一个在 \cite{Tim2} 中定义的算子核中的二次微分 $q$，且 $\Gamma$ 中每条曲线都是 $q$ 的水平轨迹。令 $l_\Gamma : \Omega \rightarrow ]0,+\infty[$ 为将一点 $p\in \Omega$ 映射到包含 $p$ 的叶的 $q$-长度的函数。则 $\Gamma$ 的模为 $$M_4 (\Gamma) = \int_\Omega \frac{|q|^2}{(l_\Gamma) ^4} \mathrm{d} L^3.$$