超弦散射振幅的模块化特征：广义埃尔金级数与Theta变换

在前面的论文中，已证明 certain 集成的四点关联子在 $\mathcal{N}=4$ 超对称 Yang-Mills 理论中 superconformal primary operators 的 large-$N$ 展开中的系数是实分析埃尔金级数和“广义埃尔金级数”的有理和。后者是最初在 type IIB 超弦理论中引力振幅的上下文中遇到的 novel 模块函数。类似的模块函数，称为 two-loop 模块图函数，也出现在 closed superstring 振幅 integrand 的低能展开中。在本文中，我们进一步发展了此类广义埃尔金级数的数学结构，特别强调其在傅里叶模分解中出现 $L$-值的作用。我们展示了集成关联子和 two-loop 模块图函数的系数都可以用由 theta 变换产生的四维格子和生成的 local Maass 函数的和来描述，这些函数概括了实分析埃尔金级数的结构。通过 theta 变换表示，我们演示了这两类非全纯模块函数的元素可以表示为广义埃尔金级数的有理线性组合，对于这些级数，所有 $L$-值的全息 cusp 形式恰好相消。