通过均匀能量的临界点极小化闭测地线

本文研究 $1/k$-测地线，即在任意长度为 $l(\gamma)/k$ 的子区间上达到极小值的闭测地线。我们利用能量方法，建立了 $1/k$-测地线与我们所定义的均匀能量的平衡点之间的关系。我们证明了均匀能量的平衡点类在黎曼流形的 Gromov-Hausdorff 收敛下具有持久性。此外，我们将半测地线（$1/2$-测地线）与距离函数的 Grove-Shiohama 临界点联系起来。这种关系使我们能够借助发展成熟的临界点理论来研究半测地线的行为。在此过程中，我们对黎曼距离函数的可微性给出了完整的刻画。