小粗糙角度的度量空间与粗糙自收缩曲线的可测性

小粗糙角度（SRA）条件由Zolotov在arXiv:1804.00234中提出，捕捉了度量空间中所有由三点形成的角度均较小的思想。在本文的第一部分，我们发展了满足SRA($\alpha$)条件（$0<\alpha<1$）的度量空间$(X,d)$的理论。给定度量空间$(X,d)$和$0<\alpha<1$，空间$(X,d^\alpha)$满足SRA($2^\alpha-1$)条件。我们证明了一个关于双 Lipschitz 变换的定量逆语句。我们还考虑满足SRA($\alpha$)free条件（任意SRA($\alpha$)子集基数有统一上界）或SRA($\alpha$)full条件（存在无限SRA($\alpha$)子集）的度量空间。SRA free空间的例子包括欧几里得空间、非负曲率的有限维Alexandrov空间以及准阿贝尔群的Cayley图；SRA full空间的例子包括亚里斯群、Laakso图和Hilbert空间。我们研究$(X,d^\alpha)$中$0<\alpha<1$的SRA($\epsilon$)子集是否存在于$0<\epsilon<2^\alpha-1$。在第二部分中，我们将小粗糙角度理论应用于研究大致自收缩曲线的可测性。在欧几里得情境中，这一问题由Daniilidis、Deville和第一作者使用直接几何方法研究。我们证明，在任何满足SRA($\alpha$)free条件的度量空间$(X,d)$中，都存在$\lambda_0 = \lambda_0(\alpha)>0$，使得任何受限的大致$\lambda$-自收缩曲线（$\lambda \leq \lambda_0$）都是可测的。该证明是对Zolotov的论证的推广和扩展，他处理了$\lambda=0$的情况，即在SRA free空间中自收缩曲线的可测性。