具有随机分布任意闭合轨迹的探索域的平均弧定理

积分几何中的一个显著结果是 Cauchy 公式，它将随机穿过凸二维域的弹道轨迹的平均路径长度与该区域面积和其周长之比联系起来。该定理已被推广至非凸域，并扩展至布朗运动情形，在包括生物运动与波动物理在内的多个领域得到许多应用。此处，我们将该定理推广至探索任意域的任意闭合轨迹。我们证明，无论轨迹多么复杂，只要没有轨迹完全包含于域内，平均弧长仍满足 Cauchy 公式。低于此阈值时，平均弧长随轨迹尺寸减小。在此情形下，对于与凸域相交且相对较小的凸轨迹，仍可得近似解析公式。为验证我们的分析，我们对探索任意二维域的不同类型轨迹进行了数值模拟。我们的结果可用于从平均首次进入-退出长度反推有界域的几何信息。