间歇性 Cauchy 步实现目标形状和尺寸的最优 3D 搜索

目标形状，而非仅尺寸，在决定随机搜索中的检测可行性方面起着关键作用。我们分析三维中的间歇性 L\'evy 步，数学证明广泛观察到的 Cauchy 策略（L\'evy 指数 $\mu = 2$）在广泛的目标尺寸和形状范围内实现尺度不变的近最优检测。在体积为 $n$ 的域中，凸形目标表面积为 $\Delta$ 时，预期检测时间最优地缩放为 $n/\Delta$。相反，$\mu < 2$ 的 L\'evy 策略在检测大比表面积比目标时较慢，而 $\mu > 2$ 的策略在寻找大型细长形状时表现突出，但随目标变宽而退化。我们的进一步结果指示存在连续的几何转变：体积在 $\mu = 1$ 处决定检测，随后在 $\mu \to 2$ 处由表面积主导，之后表面积与细长度耦合决定检测。最终，3D 搜索引入了对目标形状的显著敏感性，这一特征在低维中并不存在。我们的工作为 3D 中的 L\'evy 飞行觅食假设提供了严格基础，通过确立 Cauchy 步的尺度不变最优性。进一步，我们的结果揭示了由维度驱动的形状脆弱性，提供了可供实验检验的生物学和工程系统的预测。