柯西平均弦长公式的惊人变体

我们考察各向同性与各向异性的随机游走，其始于线性（$N$）、方形（$N \times N$）或立方（$N \times N \times N$）格子的表面，并在再次碰到表面时结束。游走的平均长度等于 $N$，且对于大 $n$，长度 $n$ 的分布通常按 $n^{-1.5}$ 缩放。我们的结果在柯西的一个古老公式背景下引人关注：穿过体积为 $V$、表面积为 $S$ 的凸体的弦的平均长度正比于 $V/S$。近年来已认识到，即使将弦替换为不规则昆虫路径或碰撞气体分子轨迹，柯西公式也惊人地成立。与其他基于连续统中玻尔兹曼输运方程的表述相比，格子上的随机游走对这一结果提供了简单而透明的理解。