Mazur 增长数猜想与同余

受 Greenberg-Vatsal 和 Emerton-Pollack-Weston 工作的启发，我研究了在虚二次域的 $\mathbb{Z}_p$-扩张中，关于 Selmer 秩增长的 Mazur 猜想在 Galois 表示之间的 $p$-同余下能在多大程度上保持。作为第一步，我在显式假设下对某些三元组 $(E, K, p)$ 建立了 Mazur 猜想。在此基础上，我证明了对于模 $p$ 同余于 $E$ 的模形式所附带的 Greenberg Selmer 群的类似结果，包括源自固定驯顺水平的 Hida 族的所有特化。特别地，我证明了对于满足 $E[p]$ 和 $E'[p]$ 作为 Galois 模同构的椭圆曲线 $E'$，在 $K$ 的非反分歧 $\mathbb{Z}_p$-扩张中的 Mordell-Weil 秩保持有界。