二维 Navier-Stokes 方程中的最大回转度放大

我们推导并评估了二维不可压缩 Navier-Stokes 方程解中回转度瞬时增长率和有限时间放大的解析上界。通过在广泛的 $\textrm{Re}$ 和 $\mathcal{P}$ 范围内数值求解适当的优化问题，构造了一族由 Reynolds 数 $\textrm{Re}$ 和回转度 $\mathcal{P}$ 的初始值参数化的最优螺线管场，该族场使 $d\mathcal{P}/dt$ 最大化，为解析估计 $d\mathcal{P}/dt \leq \left(a + b\sqrt{\ln\textrm{Re}+c} \, \right) \mathcal{P}^{3/2}$ 相对于 $\textrm{Re}$ 和 $\mathcal{P}$ 的精确性提供了数值证据。随后，将该族瞬时最优场用作全分辨率直接数值模拟的初始数据，并在回转度衰减前的瞬态放大过程中仔细监测不同相关范数的时间演化。观察到由这些初始数据产生的回转度峰值，即 $\sup_{t > 0} \mathcal{P} (t)$，与初始回转度 $\mathcal{P}(0)$ 的大小呈标度关系，符合相应的先验估计。讨论了这些发现对三维不可压缩 Navier-Stokes 方程中有限时间奇异性形成问题的意义。