首次离开半空间前 N 个独立布朗行走者的最大值

我们考虑一维目标搜索过程，涉及一个位于原点的固定目标和 N 个执行独立布朗运动的搜索者，所有搜索者从正半空间的初始位置 $\vec x = (x_1,x_2,..., x_N)$ 开始。当目标被其中一个搜索者首次发现时，过程停止。我们计算了直到停止时间搜索者访问的最大距离 m 的概率分布，并证明其具有幂律尾部：对于大的 m，$P_N(m|\vec x)\sim B_N (x_1x_2... x_N)/m^{N+1}$。因此，m 的所有阶数直到 (N-1) 的矩都是有限的，而更高阶的矩发散。前因子 $B_N$ 随 N 增长快于指数增长。我们的解给出了 N 个粒子从盒子 $[0,L]$ 通过左边界离开的逃逸概率。顺便地，它也提供了 N 维超立方体中具有某些指定边界条件的拉普拉斯方程的精确解。解析结果与蒙特卡洛模拟非常吻合。