随机图与自旋玻璃中的极大稳定局部最优：相变与普适性

我们考虑 Ising 自旋玻璃模型的 $h$-稳定局部最优，即这样的自旋构型：对几乎全部自旋，翻转其值导致能量至少增加给定量 $h$。满足此条件的自旋称为该构型的 $h$-稳定自旋。类似地，我们考虑图的一种密切相关的概念：$h$-友好划分。其定义为二划分，使得对大多数节点，节点所在划分内的归一化邻居数超过划分外归一化邻居数达某量 $h$。对自旋玻璃及稀疏与稠密随机图，在限制为二等分时，我们证明了归一化能级 $h$ 在普适值 $h^*$ 附近存在相变。当 $h$ 低于相变值 $h^*$ 时，存在二划分使得非 $h$-稳定（非 $h$-友好）的自旋（节点）数为亚线性。高于相变水平 $h^*$ 时，非 $h$-稳定（非 $h$-友好）自旋的最小数量为线性。这证实了 Behrens 等人（2022）的猜想。我们的结果也允许刻画随 $h$ 变化的稳定局部最优的可能能量值。特别地，对 $h=0$，这严格证明了统计物理中关于所谓亚稳态的开创性结果，如 Bray 与 Moore（1981）的工作。我们的结果将 Ferber 等人（2022）中所谓的友好划分猜想从 $h=0$ 情形推广到 $h$ 取一般值情形。我们的证明通过分析稀疏随机图上的模型，并采用 Lindeberg 型普适性方法将结果从稀疏图提升 to 稠密图与自旋系统。