平均场自旋玻璃的优化

平均场自旋玻璃是高维乘积空间上的一族随机能量函数（哈密顿量）。本文考虑Ising混合 $p$-自旋模型，即在汉明超立方体 $\Sigma_N = \{\pm 1\}^N$ 上定义的哈密顿量 $H_N:\Sigma_N\to {\mathbb R}$，其性质为 $\{H_N({\boldsymbol \sigma})\}_{{\boldsymbol \sigma}\in \Sigma_N}$ 是协方差 ${\mathbb E}\{H_N({\boldsymbol \sigma}_1)H_N({\boldsymbol \sigma}_2)\}$ 仅依赖于标量积 $\langle {\boldsymbol \sigma}_1,{\boldsymbol \sigma}_2\rangle$ 的零均值高斯过程。最优值 $\max_{{\boldsymbol \sigma}\in \Sigma_N}H_N({\boldsymbol \sigma})$ 的渐近性由称为Parisi公式的变分原理刻画，该公式首先由Talagrand证明，并由Panchenko在更一般设定下证明。超水平集的结构极为丰富，已被众多作者研究。此处我们询问能否在多项式时间内计算出近似最优构型 ${\boldsymbol \sigma}$。我们开发了一种消息传递算法，其每次迭代的复杂度与计算 $H_N$ 梯度的复杂度同阶，并刻画了其达到的典型能量值。当 $p$-自旋模型 $H_N$ 满足某无重叠间隙假设时，对任意 $\varepsilon>0$，该算法以高概率输出 ${\boldsymbol \sigma}\in\Sigma_N$ 使得 $H_N({\boldsymbol \sigma})\ge (1-\varepsilon)\max_{{\boldsymbol \sigma}'} H_N({\boldsymbol \sigma}')$。迭代次数在 $N$ 上有界且仅依赖于 $\varepsilon$。更一般地，无论无重叠间隙假设是否成立，所达能量由一个推广Parisi公式的扩展变分原理给出。