优化平均场自旋玻璃的紧致 Lipschitz 困难性

我们研究了算法优化球形或伊辛混合 $p$-自旋玻璃的哈密顿量 $H_N$ 的问题。$H_N/N$ 的最大渐近值 $\mathsf{OPT}$ 由一个称为 Parisi 公式的变分原理刻画，该原理首先由 Talagrand 证明，并由 Panchenko 在更一般的情形下证明。最近发展的近似消息传递算法能有效地将 $H_N/N$ 优化至一个由扩展 Parisi 公式给出的值 $\mathsf{ALG}$，该公式在一个更大的泛函序参量空间上求最小值。对于表现出无重叠间隙性质的自旋玻璃，这两个目标值相等。然而，$\mathsf{ALG} < \mathsf{OPT}$ 的情况也可能发生，且目前尚无已知的高效算法能产生超过 $\mathsf{ALG}$ 的目标值。我们证明，对于混合偶 $p$-自旋模型，任何满足重叠集中性质的算法都不能以不可忽略的概率产生大于 $\mathsf{ALG}$ 的目标值。该性质对所有对 $H_N$ 的无序系数具有适当 Lipschitz 依赖性的算法成立。它涵盖了梯度下降、近似消息传递和有限时间内运行的 Langevin 动力学的自然表述，并特别包含了上述达到 $\mathsf{ALG}$ 的算法。为证明这一结果，我们将 Gamarnik 和 Sudan 引入的重叠间隙性质框架大幅推广到解的任意超度量禁止结构。