极大边连通实现与 Kundu 的 $k$-因子定理

简单图 $G$ 若边连通度 $\lambda(G)$ 等于最小度 $\delta(G)$，则称其为极大边连通的。1964年，给定非增度序列 $\pi=(d_{1},\ldots,d_{n})$，Jack Edmonds 证明：存在 $\pi$ 的 $k$-边连通实现 $G$ 当且仅当 $d_{n}\geq k$，且当 $d_{n}=1$ 时 $\sum_{i=1}^{n}d_{i}\geq 2(n-1)$。我们加强 Edmonds 的结果：给定 $\pi$ 的一个实现 $G_{0}$，若 $Z_{0}$ 是 $G_{0}$ 的生成子图且 $\delta(Z_{0})\geq 1$，并满足当 $\delta(G_{0})=1$ 时 $|E(Z_{0})|\geq n-1$，则存在 $\pi$ 的极大边连通实现以 $G_{0}-E(Z_{0})$ 为子图。我们的定理表明，存在一个与 $G_{0}$ 至多相差 $n-1$ 条边的极大边连通实现。对于 $\delta(G_{0})\geq 2$，若 $G_{0}$ 有含 $c$ 个分支的生成森林，则我们的定理表明存在与 $G_{0}$ 至多相差 $n-c$ 条边的极大边连通实现。作为一个应用，我们将我们的工作与 Kundu 的 $k$-因子定理结合，证明存在一个带 $(k_{1},\dots,k_{n})$-因子的极大边连通实现，其中 $k\leq k_{i}\leq k+1$，并对强化 Kundu $k$-因子定理正则情形的猜想给出部分结果。