多开关：一种用于寻找潜在边不交 $1$-因子的工具

设 $n$ 为偶数，令 $\pi = (d_1, \ldots, d_n)$ 为一个可图度数序列，且 $\pi - k = (d_1 - k, \ldots, d_n - k)$ 也是可图度数序列。Kundu 证明了 $\pi$ 有一个包含 $k$-因子（即 $k$-正则图）的实现 $G$。陈述 Kundu 定理结论的另一种方式是 $\pi$ \emph{潜在}包含一个 $k$-因子。Busch, Ferrara, Hartke, Jacobsen, Kaul 和 West 猜想更强的结论成立：$\pi$ 潜在包含 $k$ 个边不交的 $1$-因子。沿着这一思路，他们证明了 $\pi$ 潜在包含边不交的 $(k-2)$-因子和两个 $1$-因子。我们遵循 Busch 等人方法，但引入了一种称为多开关（multi-switch）的新工具。利用这一新思路，我们证明了 $\pi$ 潜在具有边不交的 $(k-4)$-因子和四个 $1$-因子。我们还证明了 $\pi$ 潜在有 ($\lfloor k/2 \rfloor + 2$) 个边不交的 $1$-因子，但在该情况下无法证明存在大正则图。