关于强化 Kundu k-因子定理的一个猜想

设 $\pi=(d_{1},\ldots,d_{n})$ 为偶数 $n$ 的非增度序列。1974 年，Kundu 证明若 $\mathcal{D}_{k}(\pi)=(d_{1}-k,\ldots,d_{n}-k)$ 是可图的，则 $\pi$ 的某实现含有 $k$-因子。对于 $r\leq 2$，Busch 等人、以及后来 Seacrest 对 $r\leq 4$ 证明：若 $r\leq k$ 且 $\mathcal{D}_{k}(\pi)$ 可图，则存在一个实现含 $k$-因子，其边可划分为一个 $(k-r)$-因子与 $r$ 个边不交的 $1$-因子。我们将其改进至任意 $r\leq \min\{\lceil\frac{k+5}{3}\big\rceil,k\}$。1978 年 Brualdi、以及 2012 年 Busch 等人猜想 $r=k$。该猜想对 $k\geq6$ 仍开放。然而，Busch 等人证明当 $d_{1}\leq \frac{n}{2}+1$ 或 $d_{n}\geq \frac{n}{2}+k-2$ 时猜想成立。我们通过首先发展推广边交换的新工具来探究此猜想。借助这些新工具，我们可去掉 $\mathcal{D}_{k}(\pi)$ 可图的假设，并证明若 $d_{d_{1}-d_{n}+k}\geq d_{1}-d_{n}+k-1,$ 则 $\pi$ 有一个含 $k$ 个边不交 $1$-因子的实现。由此我们在 $d_{n}\geq \frac{d_{1}+k-1}{2}$ 时，或当 $\mathcal{D}_{k}(\pi)$ 可图且 $d_{1}\leq \max \{n/2+d_{n}-k,(n+d_{n})/2\}$ 时确认了该猜想。