正则高次图的1-因子分解数量

$n$顶点图$G$中的$1$-因子是$\frac{n}{2}$条顶点不相交边的集合，而$G$的$1$-因子分解是将其边划分为边不相交的$1$-因子的一个分割。显然，除非$n$为偶数且$G$是正则的（即所有顶点具有相同的度），否则$G$的$1$-因子分解不可能存在。寻找图中$1$-因子分解的问题可追溯至Kirkman在1847年的论文，此后得到了广泛研究。判定一个图是否存在$1$-因子分解通常是一个非常困难的问题。例如，证明Dirac在20世纪50年代提出的一个古老猜想——即只要$n$为偶数且$d\geq 2\lceil \frac{n}{4}\rceil-1$，每个具有$n$顶点的$d$-正则图都包含$1$-因子分解——花费了60多年的时间，并得益于Csaba, K"uhn, Lo, Osthus和Treglown令人瞩目的开创性工作。在本文中，我们探讨了一个自然问题，即在$d\geq \frac{n}{2}+\varepsilon n$的条件下，估计偶数顶点$d$-正则图中$1$-因子分解的数量$F(n,d)$。我们改进了Ferber和Jain近期的一个结果（该结果本身已改进了Cameron在20世纪70年代的结果），证明了$F(n,d)\geq \left((1+o(1))\frac{d}{e^2}\right)^{nd/2}$，这在渐近意义上是最优的。