$L(\mathbb{Z}^2\rtimes SL_2(\mathbb{Z}))$ 中的极大 Haagerup 子代数

我们证明了对 $\textbf{k}=\mathbb{Q}$, $L(SL_2(\textbf{k}))$ 是 $L(\textbf{k}^2\rtimes SL_2(\textbf{k}))$ 中的极大 Haagerup von Neumann 子代数。随后我们展示如何修改证明以处理 $\textbf{k}=\mathbb{Z}$ 的情形。证明的关键步骤是对 $L(SL_2(\textbf{k}))$ 与 $L^{\infty}(Y)\rtimes SL_2(\textbf{k})$ 之间所有中间 von Neumann 子代数的完整刻画,其中 $SL_2(\textbf{k})\curvearrowright Y$ 表示代数作用 $SL_2(\textbf{k})\curvearrowright \widehat{\textbf{k}^2}$ 通过模去关系 $\phi\sim \phi'$ 所得的商,其中 $\phi$, $\phi'\in \widehat{\textbf{k}^2}$ 且对所有 $(x, y)\in \textbf{k}^2$ 有 $\phi'(x, y):=\phi(-x, -y)$。作为副产品,我们证明 $L(PSL_2(\mathbb{Q}))$ 是 $L^{\infty}(Y)\rtimes PSL_2(\mathbb{Q})$ 中的极大 von Neumann 子代数;特别地, $PSL_2(\mathbb{Q})\curvearrowright Y$ 是一个素作用,即它不容许非平凡的商作用。