$\mathbb{Z}^{n+1}\rtimes_{\rho_n}GL_2(\mathbb{Z})$ 中的极大 Haagerup 子群

对于 $n\geq 1$，令 $\rho_n$ 表示 $GL_2(\Z)$ 在齐次多项式空间 $P_n(\Z)\simeq\Z^{n+1}$（两个变量、整系数的 $n$ 次齐次多项式）上的标准作用。对于 $GL_2(\Z)$ 的非顺从子群 $G$，我们描述了半直积 $\Z^{n+1}\rtimes_{\rho_n} G$ 的极大 Haagerup 子群，推广了 Jiang-Skalski \cite{JiSk} 对 $\Z^2\rtimes SL_2(\Z)$ 中极大 Haagerup 子群的分类。我们证明：当 $n$ 为奇数时，群 $P_n(\Z)\rtimes SL_2(\Z)$ 有无穷多个两两不共轭且为自由群的极大 Haagerup 子群；当 $n$ 为偶数时，群 $P_n(\Z)\rtimes GL_2(\Z)$ 有无穷多个两两不共轭且与 $SL_2(\Z)$ 同构的极大 Haagerup 子群。