$\mathbb{Z}_n\rtimes\mathbb{Z}_2$ 的 Hopf-Galois 可实现性

设 $G$ 和 $N$ 为阶为 $2n$ 的有限群，其中 $n$ 为奇数。当 $G$ 是 $\h(N)=N\rtimes\au(N)$ 的正则子群时，称对 $(G,N)$ 是 Hopf-Galois 可实现的。本文给出当 $N$（相应地 $G$）为形如 $\mathbb{Z}_n\rtimes\mathbb{Z}_2$ 的群时，对 $G$（类似地 $N$）的必要条件。进一步我们证明若 $n$ 的根为 Burnside 数，则该条件也是充分的。这在此情形下分类了所有加群（或乘群）同构于 $\mathbb{Z}_n\rtimes\mathbb{Z}_2$ 的斜 brace。