某些矩阵幺半群中元素的最大项

令 $L_u=\begin{bmatrix}1 & 0\\u & 1\end{bmatrix}$ 和 $R_v=\begin{bmatrix}1 & v\\0 & 1\end{bmatrix}$ 为 $SL_2(\mathbb Z)$ 中满足 $u, v\geq 1$ 的矩阵。由于由 $L_u$ 和 $R_v$ 生成的幺半群是自由的，我们可以基于其乘积表示给每个元素赋予一个深度。在 $u=v=2$ 和 $u=v=3$ 的情形中，Bromberg、Shpilrain 和 Vdovina 确定了包含每个 $n\geq 1$ 的最大项的深度 $n$ 矩阵。利用我们之前关于 $(u,v)$-Calkin-Wilf 树工作的思想，我们将他们的结果推广到任意 $u, v\geq 1$，并在此过程中我们重新得到了斐波那契序列和一些卢卡斯序列。作为推论，我们得到了基于 $L_u$ 和 $R_v$ 的一类哈希函数抗碰撞性的保证界限。