匹配向量码的新下界

模 $m$ 的 Matching Vector (MV) 族是一对有序列表 $U=(u_1,...,u_t)$ 和 $V=(v_1,...,v_t)$，其中 $u_i,v_j \in \mathbb{Z}_m^n$，具有以下内积模式：对任意 $i$，$< u_i,v_i>=0$，且对任意 $i \ne j$，$< u_i,v_j> \ne 0$。如果内积 $< u_i,v_j>$ 最多取 $q$ 个不同的值，则称该 MV 族为 $q$-受限的。我们对 MV 族的兴趣源于它们最近在构造次指数级 locally decodable codes (LDCs) 中的应用。在那里，$q$-受限的 MV 族被用于构造具有 $q$ 次查询的 LDCs，并且在 $q$ 为常数的情形下存在特殊的研究兴趣。当 $m$ 为素数时，已知此类构造会产生具有指数级块长的码。然而，对于复合数 $m$，其行为截然不同。Efremenko [STOC 2009] 的一项近期工作（基于 Yekhanin [JACM 2008] 开创的方法）给出了第一个具有常数次查询的次指数级 LDC。它基于 Grolmusz [Combinatorica 2000] 模复合数 $m$ 构造的超多项式规模的 MV 族。在本工作中，我们证明了基于使用 MV 族的黑盒构造的 LDCs 块长的两个下界。当 $q$ 为常数（或足够小）时，我们证明此类 LDCs 必须具有二次块长。当模数 $m$ 为常数时（如 Efremenko 的构造中那样），在假设加性组合中一个著名猜想，即 $\mathbb{Z}_m$ 上的多项式 Freiman-Ruzsa 猜想成立的前提下，我们证明了 LDCs 块长的超多项式下界。