多边形域中测地直径的极大畸变

对于平面上具有孔洞的多边形 $P$,记 $\varrho(P)$ 为 $P$ 的测地直径与欧几里得直径之比。研究表明,在所有具有 $h$ 个凸孔洞的凸多边形中,$\varrho(P)$ 的上确界介于 $\Omega(h^{1/3})$ 与 $O(h^{1/2})$ 之间。若每个孔洞的欧几里得直径至多为 $P$ 的欧几里得直径的 $\Delta$ 倍,则上界改进为 $\varrho(P)\leq O(1+\min\{h^{3/4}\Delta,h^{1/2}\Delta^{1/2}\})$;若每个孔洞均为\emph{胖}凸多边形,则改进为 $O(1)$。此外,我们证明了当 $h\rightarrow \infty$ 时,具有 $h$ 个凸孔洞的凸多边形上的函数 $g(h)=\sup_P \varrho(P)$ 与具有 $h$ 个顶点的几何三角剖分上的类似量的增长速率相同。