水平集几何对锥线性优化中 PDHG 性能的作用

我们考虑求解大规模的（凸）锥线性优化问题，其规模使得无矩阵分解方法具有吸引力或成为必需。重启原始-对偶混合梯度法（rPDHG）——结合启发式增强和 GPU 实现——在求解大规模线性规划（LP）问题方面非常成功；然而，其在更一般的锥凸优化问题上的应用尚不充分。我们分析了 rPDHG 在一般（凸）锥线性优化及其特例 LP 上的理论和实际性能。我们展示了原始-对偶（子）水平集 $W_\varepsilon$ 的几何形状与 rPDHG 收敛率之间的关系。具体而言，我们证明了 rPDHG 收敛率的一个界限，当存在一个原始-对偶（子）水平集 $W_\varepsilon$ 满足：$W_\varepsilon$ 接近最优解集（在 Hausdorff 距离意义下），且 $W_\varepsilon$ 的直径与“锥半径”之比较小时，该界限会得到改善。在 LP 问题的特殊情况下，rPDHG 的性能仅受此比值应用于对应最佳非最优极点的（子）水平集的限制。根据问题实例的不同，该比值可能取极端值，并导致 rPDHG 在理论和实践中表现不佳。为了解决这个问题，我们展示了基于中心路径的线性变换——包括锥缩放——如何显著提高 rPDHG 的收敛率。此外，我们给出的计算结果展示了此类缩放如何加速收敛至高精度解，并为大规模线性优化问题带来更高效的方法。