具有退化迹的矩阵代数与迹恒等式

本文在多项式恒等式理论的框架下研究具有退化迹的矩阵代数。第一部分致力于研究 $n \times n$ 对角矩阵代数 $D_n$。我们证明，在退化迹的情形下，其所有迹恒等式均由交换律与纯迹恒等式推出。此外，我们将赋予退化迹的 $D_{n+1}$ 的迹恒等式与赋予相应迹的 $D_n$ 的迹恒等式联系起来。这使我们能够确定 $D_3$ 的迹 T-理想的生成元。在第二部分中，我们研究 $M_k(F)$ 的交换子代数，记为 $C_k$，其类型为 $F + J$，可赋予所谓的奇异迹：$tr(a+j) = \alpha a + \beta j$，对任意 $a+j \in C_k$，$\alpha$、$\beta \in F$。此处 $J$ 是 $C_k$ 的根。在 $\beta = 0$ 时该迹是退化的，我们研究了对每个 $k \geq 2$ 代数 $C_k$ 所满足的迹恒等式。此外我们证明这些代数生成所谓的极小多项式增长簇。在本文最后一部分，致力于研究多项式增长簇，我们完全分类了同一作者先前论文中引入的几乎多项式增长代数簇的子类。