两个 $3 \times 3$ 矩阵的非交换迹代数的定义关系

非交换（或混合）迹代数 $T_{nd}$ 由 $d$ 个泛型 $n\times n$ 矩阵以及由所有泛型矩阵乘积的迹生成的代数 $C_{nd}$ 生成，其中 $n,d\geq 2$。已知在特征为 0 的域上，该代数是中心 $C_{nd}$ 的多项式子代数 $S$ 上的有限生成自由模。对于 $n=3$ 和 $d=2$，我们显式地给出了这样的子代数 $S$ 以及 $S$-模 $T_{32}$ 的一组自由生成元。我们还给出了 $T_{32}$ 作为代数的定义关系集合以及相应理想的 Groebner 基。证明基于 Maple 标准函数的简易计算机计算、$C_{32}$ 以生成元与关系表示的显式描述，以及一般线性群表示论的方法。