${\mathbb{Z}}_N$ 分级离散 Lax 对与离散可积系统

我们引入一类 ${\mathbb{Z}}_N$ 分级离散 Lax 对，其由 $N\times N$ 矩阵构成且关于谱参数是线性的。我们给出了此类 Lax 对及相关离散可积系统的分类方案。我们提出了两种势形式并对一般情形进行了完全分类。许多熟知的例子属于 $N=2$ 时的我们的方案，因此我们的许多系统可视为这些例子的推广。即使在 $N=3$ 时，也出现了几种新的可积系统。我们的许多方程是相互兼容的，因此可以一起使用以形成“彩色”格点。我们还提出了 Lax 对的连续等谱变形，给出了兼容的微分 - 差分系统，它们在我们的离散系统中起着连续对称性的作用。对于一般情形，我们提出了主对称性及其相应层级的递归公式。我们提出了离散系统的两个非局域对称性，它们在势形式下具有自然的表示。这些对称性导出了二维 Toda 格点，其中我们的非线性对称性是 B\"acklund 变换，而我们的离散系统是非线性叠加公式（针对一般情形）。