向量/矩阵非线性薛定谔方程的可积离散化及其关联的杨-巴克斯特映射
摘要
将 Bäcklund-Darboux 变换作用于与已知可积系统相关的谱问题，可以定义一个新的离散谱问题。本文中，我们将非线性薛定谔(NLS)族的一类稍作推广的二元 Bäcklund-Darboux (或 Zakharov-Shabat dressing) 变换解释为离散谱问题，其中出现在 Darboux 矩阵中的两个中间势被视为一对新的因变量。然后，我们将该离散谱问题与合适的等谱时间演化方程相关联，形成空间离散 NLS 系统的 Lax 对表示。该表述适用于两个因变量取值于(矩形)矩阵的最一般情形。与 Ablowitz-Ladik 格点的矩阵推广不同，我们的离散化具有有理性非线性，并允许两个因变量之间的厄米共轭约化。因此，获得了向量/矩阵 NLS 方程的一种新的恰当空间离散化；通过改变 Lax 对的时间部分，我们还得到了向量/矩阵修正 KdV (mKdV) 方程的可积空间离散化。由于 Bäcklund-Darboux 变换是可交换的，我们可以以多维一致的方式增加离散自变量的数目。通过求解二维格点上的相容性条件，我们得到了 NLS 类型的杨-巴克斯特映射，它可被视为投影矩阵主手征模型的完全离散类比。
引用
@article{arxiv.1505.07924,
title = {Integrable discretization of the vector/matrix nonlinear Schr\"odinger equation and the associated Yang-Baxter map},
author = {Takayuki Tsuchida},
journal= {arXiv preprint arXiv:1505.07924},
year = {2024}
}
备注
35 pages; (v2) minor corrections (v3) added one paragraph on a space-discrete matrix KdV equation at the end of section 2 (v4) added three references arXiv:math/9805074, arXiv:1106.0214 and arXiv:2210.02265 (see the remark below (3.14)) (v5) added one remark below (3.14), two figures and one reference arXiv:0903.1827