$\mathbb{Q}$-曲线与 Lebesgue-Nagell 方程

Michael A. Bennett; Philippe Michaud-Jacobs; Samir Siksek

doi:10.5802/jtnb.1254

$\mathbb{Q}$-曲线与 Lebesgue-Nagell 方程

数论 2023-10-17 v2

作者: Michael A. Bennett , Philippe Michaud-Jacobs , Samir Siksek

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摘要

在本文中，我们考虑方程 $x^2 - q^{2k+1} = y^n, \qquad q \nmid x, \quad 2 \mid y,$ 其中 $x,q,k,y$ 和 $n$ 为整数，且 $k \geq 0$ 和 $n \geq 3$ 。通过找出 $q= 41$ 和 $q = 97$ 情形下的所有解，我们扩展了第一作者和第三作者的工作。我们通过构造定义在实二次域 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})$ 上的 Frey-Hellegouarch $\mathbb{Q}$ -曲线，并使用结合多 Frey 技术的模方法实现了这一点。

关键词

Lebesgue-Nagell 方程 $\mathbb{Q}$-曲线 Frey-Hellegouarch 曲线模方法多 Frey 技术丢番图方程

引用

@article{arxiv.2202.09219,
  title  = {$\mathbb{Q}$-curves and the Lebesgue-Nagell equation},
  author = {Michael A. Bennett and Philippe Michaud-Jacobs and Samir Siksek},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2202.09219},
  year   = {2023}
}

备注

Minor revisions, to appear in Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux

$\mathbb{Q}$-曲线与 Lebesgue-Nagell 方程

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