关于 Lebesgue-Nagell 方程 $x^2-2 = y^p$

我们考察了 Lebesgue--Nagell 方程 \begin{align*} x^2-2=y^p \end{align*} 在整数 $x,y,p$ 中的解，其中 $p\geq 3$ 为奇素数。一个长期存在的传说说法断言，唯一的解是“平凡”解，即 $y=-1$。我们无条件地证实了该猜想在 $p\leq 13$ 时的成立，并通过对线性形式在两个对数中的下界进行严密应用，证明该猜想在 $p>911$ 时也成立。我们还表明，任何“非平凡”解必须满足 $y > 10^{1000}$。此外，我们建立了可能支持该问题未来进展的辅助结果，并重审了文献中一些先前的主张。