大指标 Poincaré 级数的质量均分

设 $P_{k,m}$ 表示全模群 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 的权重为 $k$、指标为 $m$ 的 Poincaré 级数，并设 $\{P_{k,m}\}$ 为一序列 Poincaré 级数，其中 $m(k)$ 满足 $m(k) / k \rightarrow\infty$ 且 $m(k) \ll k^{\frac{3}{2} - \epsilon}$。我们证明，当 $k$ 趋于无穷大时，该序列的 $L^2$ 质量在 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \backslash \mathbb{H}$ 上关于双曲度量均匀分布。作为推论，我们得出该序列 $\{P_{k,m}\}$ 的零点在 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \backslash \mathbb{H}$ 上关于双曲度量均匀分布。