Manin-Drinfeld 闭包与 $L$-函数的导函数

我们研究 $\mathrm{PGL}_2$-shtukas 模空间中的代数闭链，它们由对角环面产生。我们的主要结果表明，它们与 Heegner-Drinfeld 闭链的交配对是一个自守 $L$-函数 $L(\pi,s)$ 的第 $r$ 个中心导数与 Waldspurger 环面周期积分的乘积。当 $L(\pi,\frac12) \neq 0$ 时，这给出了泰勒级数展开的一个新几何解释。当 $L(\pi,\frac12) = 0$ 时，该交配对消失，暗示了模 Jacobian 中尖点消失的高阶类比，以及其他新现象。我们的证明对 Yun 和 Zhang 引入的代数对应给出了新见解，该对应是“对 $L$-函数求导”的几何体现。我们将其实现为 $e+f \in \mathfrak{sl}_2$ 在 $(\mathbb{Q}_\ell^2)^{\otimes 2d}$ 上的李代数作用。证明我们公式所需的相对迹公式的比较则是 Schur-Weyl 对偶的结果。