Shtuka与$L$-函数的泰勒展开（II）

出于算术应用，我们扩展并改进了文献\cite{YZ}中的结果，以极小方式允许分歧。从有限域上奇特征的函数域的 possibly ramified 二次扩张$F'/F$出发，以及$F$在$F'$中非分歧的有限位置集$\Sigma$，我们在具有$r$-修正及$\Sigma$处Iwahori水平结构的$\mathrm{PGL}_{2}$-Shtuka模栈上定义了一组Heegner--Drinfeld圈。对于具有无平方因子水平$\Sigma$的$\mathrm{PGL}_{2}(\mathbb{A}_{F})$的尖点自守表示$\pi$，以及奇偶性匹配$\pi_{F'}$根数的$r\in\mathbb{Z}_{\ge0}$，我们证明了一系列恒等式介于：（1）归一化$L$-函数$\mathcal{L}^{(a)}(\pi, 1/2)\mathcal{L}^{(r-a)}(\pi\otimes\eta, 1/2)$的中心导数之积，其中$\eta$为依附于$F'/F$的二次idèle类特征，且$0\le a\le r$；（2）Heegner--Drinfeld圈的线性组合的自交数。特别地，我们现在可获得具有奇消失阶的全局$L$-函数。这些恒等式是Waldspurger与Gross--Zagier关于$L$-函数高阶导数公式的函数域类比。