保守扭转动力系统的 Lyapunov 指数：综述

通过变分法，特别是最小化方法，寻找动力系统（如测地流）中的特殊轨道（如周期轨道）是一种古老的方法。近年来，在保守扭转动力系统的框架下，关于最小化集和最小化测度存在性的新结果已被证明。这些扭转动力系统包括测地流，以及辛微分同胚在完全椭圆周期点附近且扭转为正定时的动力学。该理论的两个方面被称为 Aubry-Mather 理论和弱 KAM 理论。它们由 Aubry 和 Mather 于 20 世纪 80 年代在二维情形下建立，并由 Mather、Ma{\~n}{\'e} 和 Fathi 于 20 世纪 90 年代推广至高维情形。我们将解释什么是保守扭转动力系统，并总结最小化测度的存在性结果。随后，我们将阐述关于扭转动力系统最小化测度不同概念之间联系的更近期结果：它们的 Lyapunov 指数；它们的 Oseledet 分裂；以及它们支集的形状。我们关注的主要问题是：给定保守扭转动力系统的某个最小化测度，其支集的几何形状与其 Lyapunov 指数之间是否存在联系？或者说，我们能否从该测度支集的形状推导出其 Lyapunov 指数？文中将提供部分而非全部的证明，并在最后一节提出一些问题。