球面与复射影空间的环路同调

Ziller 在其 Inventiones 论文（Invent. Math: 1-22, 1977）中计算了秩为 1 的紧致全局对称空间自由环路空间的整系数同调，将其作为分次阿贝尔群。Chas 和 Sullivan（String Topology, 1999）证明，紧致闭可定向流形的自由环路空间同调可配备环路积与 BV 算子，使其成为 Batalin-Vilkovisky 代数。Cohen、Jones 和 Yan（The loop homology algebra of spheres and projective spaces, 2004）发展了一个谱序列，作为代数谱序列收敛到环路同调。他们利用 Ziller 的结果以及 Brown-Shih 的方法（Ann. of Math. 69:223-246, 1959, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 3: 93-176, 1962），计算了球面与复射影空间环路同调的代数结构。本文中，我们仅使用谱序列和万有示例技术来计算环路同调代数。因此，我们不仅以初等方式得到了 Ziller 和 Brown-Shih 的结果，还替代了 Cohen、Jones 和 Yan（The loop homology algebra of spheres and projective spaces, 2004）迂回的计算，使其独立于 Ziller 和 Brown-Shih 的工作。此外，我们提供了一种初等技术，预期可容易地推广并应用于更广泛的空间族，而不仅仅是全局对称空间。