有限与无限维反射布朗运动的长时间行为

本文综述了关于反射扩散过程长时间行为的一些旧结果与新进展。首先，我们概述正象限 $\mathbb{R}^d_+$（$d \in \mathbb{N}$）上反射扩散过程的构造、遍历性与几何遍历性方面的已有结果。几何遍历性结果虽具一般性，但因所用耦合与 Lyapunov 函数抽象，通常仅给出隐式收敛速率。这引导我们关注反射布朗运动 (RBM)（常漂移与扩散系数、边界斜反射）的一个重要子类——Harrison-Reiman 类的最新结果，其中显式收敛速率作为系统参数与底层维数的函数被给出。此外，给出了 RBM 系统参数的充分条件，使得到平稳态的局部收敛以“无维数”速率成立，即对任意固定 $k \in \mathbb{N}$，其 $k$ 边缘到平衡的收敛速率不依赖于整体系统维数。最后，我们研究无限维基于秩的扩散过程（含被广泛研究的无限 Atlas 模型）之长时间行为。有序粒子间间距演化为无限维 RBM，且该间距过程具有不可数多个显式积形式平稳分布。给出了初值配置落入各平稳分布弱吸引域的充分条件。最后证明，在条件下，这些显式平稳分布均为极端的（等价地，遍历的），且在某种意义下是唯一积形式不变概率分布。证明技术涉及利用显式同步与镜像耦合对 RBM 进行路径wise分析，并构造 Lyapunov 函数。