Smoluchowski-Kramers 近似的长期收敛率：Stein 方法分析

我们考虑以下在 $\mathbb{R}^{2d}$ 上的二阶随机微分方程：\n\begin{equation*}\ndX_t^m=Y_t^mdt, \quad mdY_t^m=b(X_t^m)dt+\sigma(X_t^m)dB_t-Y^m_tdt, \end{equation*}\n其中 $X^m_t$ 和 $Y^m_t$ 分别表示粒子在时间 $t$ 的位置和速度，$m>0$ 表示其质量，$b:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d$ 为漂移场，$\sigma:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^{d \times d}$ 为扩散系数，$\{B_t\}_{t \ge 0}$ 为 $d$ 维标准布朗运动。Smoluchowski-Kramers 近似表明，当 $m \rightarrow 0$ 时，该系统收敛到限制方程：\n\begin{equation*}\ndX_t=b(X_t)dt+\sigma(X_t)dB_t.\end{equation*}\n运用 Stein 方法，我们证明了 $X_t^m$ 不变分布与其小质量极限 $X_t$ 不变分布之间的 1-Wasserstein 距离为 $O(\sqrt{m}|\ln m|)$。特别地，在一维情况下，收敛率可改进为 $O(\sqrt{m})$。